Fondamenti della meccanica atomica
Queste condizioni si possono anche scrivere
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L'integrale rispetto a k si può ottenere osservando che la (67), per la (58), si può scrivere
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dove a e b sono due costanti; l'espressione di C(v) è poi data dalla (119), che si può scrivere, usando la (120),
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tenendo conto di quest'ultima, la (127) si può scrivere nella forma seguente, che non contiene più derivate rispetto al tempo, e che è quella
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Calcolata così la , la ci dà la P(x) al tempo t: per scrivere in forma semplice il quadrato del modulo dell'espressione (171), conviene introdurre la
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anche scrivere
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La distribuzione della probabilità dell'impulso si ottiene osservando che la (179') si può scrivere
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a) Caso di . In tal caso e sono reali, e perciò il secondo membro della (199) si può scrivere
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per C va posto : inoltre si può osservare che il primo termine si può scrivere (come è ben noto) in un'altra forma, poichè
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La (285), insieme con l'espressione già trovata (v. form. 245 e 246) per , ci permette di scrivere l' espressione completa dell'autofunzione
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Nella II regione la (299) si potrà anche scrivere (ponendo )
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Ora possiamo scrivere le tre condizioni di Sommerfeld, che sono
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cosicchè si può scrivere
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Si osservi ora che p è sempre multiplo intero di , secondo la (329) o meglio la (329'), perciò si potrà scrivere
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Se si considera poi che i e psono normali al piano dell'orbita, e diretti (come si vede facilmente) in senso opposto, si può anche scrivere la
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Per ottenere gli sviluppi di x ed y separatamente, basterebbe scrivere l'espressione coniugata della precedente, ed operare per addizione e
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e quindi la condizione di ortogonalità si può scrivere
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è la somma dei tre o. l. si può scrivere cioè
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L'ultima eguaglianza si può anche scrivere
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Un altro esempio notevole è l'operatore che figura nel primo membro dell'equazione di Schrödinger (131 ) p. II, la quale si può scrivere
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Perciò la (12) si può anche scrivere
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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e si potrà scrivere, analogamente alla (8'),
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cosicchè si può anche scrivere
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potremo dunque scrivere
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che si può anche scrivere, scambiando gli indici di sommatoria,
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e poichè, per la (5') , la (52) si può scrivere
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, cioè tra gli angoli θ e θ' (fig. 3). Se invece di scrivere la relazione (6) tra le sole grandezze dei tre vettori in questione, utilizziamo in pieno
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e quindi si può scrivere la relazione di permutazione
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la, quale si può anche scrivere
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(dove il primo termine è dell'ordine dell'unità, e il secondo è una correzione, piccola del primo ordine), potremo scrivere la (184):
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poichè la (185) si può scrivere (cambiando l'indice k in l)
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rappresentano gli elementi della «matrice di perturbazione», e si possono anche scrivere, in virtù della (219),
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nuovo delle (235) si può scrivere:
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L'operatore hamiltoniano così formato, permette poi di scrivere, nel modo solito, l'equazione per la , e cioè
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Infine, in molti casi, pur non essendo possibile rappresentare i termini con delle formule semplici, si possono tuttavia scrivere le frequenze delle
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(notazione conforme a quella del § 7) si può scrivere brevemente:
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dove gli indici e secondo la convenzione già fatta, assumono i valori 1, 2,... N. Si può anche scrivere, riunendo le (266) in una sola formula,
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che si potrebbero anche scrivere, esplicitando gli operatori,
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e trascurando le potenze superiori di p, si può scrivere
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Gli operatori si possono scrivere in forma più simmetrica introducendo in luogo di t la variabile
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Può essere utile scrivere l'equazione cui soddisfa la . Dall'equazione di Dirac (271) si ha prendendone la coniugata (e notando che, se è una matrice
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Perciò la (312) si può scrivere:
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(l) Tralasciamo, per semplicità di notazione, di scrivere gli indici della finzione sferica Z: si noti che essi saranno in genere diversi per le
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(la sommatoria essendo estesa a tutte le permutazioni ), ed una antisimmetrica, la quale si può scrivere sotto forma di determinante nel modo
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Quindi e si ottengono, in sostanza, risolvendo un medesimo problema di autovalori: basta scrivere l'equazione seguente (che riproduce le (368), ma
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Normalizzando e si trova che il modulo di questi coefficienti deve essere , cosicchè si può scrivere
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L'equazione secolare che dà le si può dunque scrivere:
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può sempre scrivere l'equazione nella forma
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e si verifica immediatamente che Q = P', sicchè l'equazione si può scrivere
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Accademia della crusca
